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"aprendiendo paso a paso"

El plano cartesiano.

El plano cartesiano es un sistema coordenado rectangular (que forma un rectángulo), formado por dos rectas numéricas que se intersecan perpendicularmente en un punto llamado origen, correspondiente al punto cero de cada una de las rectas, mediante un sistema de coordenadas.

Las rectas numéricas horizontal y vertical son llamadas eje de abscisas (usualmente el eje \(x\)) y eje de ordenadas (usualmente eje \(y\)).

El plano que queda determinado por los ejes recibe el nombre de plano \(xy\) y permite unir dos de las ramas más importante de las matemáticas, el álgebra y la geometría, las cuales siembran las bases para el estudio de otras ramas como son la trigonometría y el cálculo (se estudia en grados superiores).

Recuerde que una recta se extiende en ambos sentidos (derecha o izquierda, arriba o abajo) hasta el infinito, sin embargo, solo se debe colocar flechas de dirección hacia la derecha y hacia arriba. Las escalas de división se toman a conveniencia de acuerdo con los valores que toman las variables del ejercicio, esto es porque el tamaño de la hoja de papel o cartulina donde escribe es limitado y la escala debe acomodarse a los datos.

Coordenadas de un punto en el plano.

Sea \(P\) un punto en el plano cartesiano, ubicado en cualquiera de los cuadrantes. Se asocia un par ordenado (pareja de números reales que tienen un orden) al punto \(P\) si se traza una recta vertical desde \(P\) al eje de abscisas (eje \(x\) y una recta horizontal desde \(P\) al eje de ordenadas (eje \(y\)).

Si la recta vertical corta el eje de abscisas en \(x=a\) y la recta horizontal corta el eje de ordenada en \(y=b,\) el par ordenado de números reales asociado al punto \(P\) es \(\left(a,b\right).\) El número \(a\) es la abscisa o coordenada en \(x\) del punto y el número \(b\) es la ordenada o coordenada en \(y.\) Un punto en un plano también se puede representar por el par ordenado \(\left(x,y\right)\) o \(\left(h,k\right)\) las letras a usar no importan, lo que importa es el orden.

Graficar puntos en el plano de coordenadas.
Por convención se ha establecido que a la derecha y arriba del origen de coordenadas, punto \((0,0)\) es positivo, mientras que a la izquierda y abajo se considera negativo como puede verse en la figura de derecha.

Así el punto \(\left(3,4\right)\) quiere decir tres unidades (lugares) a la derecha del \(\left(0,0\right)\) y luego cuatro unidades hacia arriba. Para el punto \(\left(-3,1\right)\) se deben considerar tres unidades a la izquierda del origen \(\left(0,0\right)\) y luego una unidad hacia arriba, como puede verse en la figura de la izquierda.

Distancia entre dos puntos en el plano.

Comience por entender la distancia entre dos números \( n_1\) y \( n_2\) en la recta real, esta se define como el valor absoluto de la diferencia de esto, es decir \(d(n_1, n_2)=|n_2- n_1 |\).

Ejemplo 1. Determinar la distancia entre \(-20\) y \(15.\) $$d(15,-20)=|-20-15|=|-35|=35$$ Ahora considere lo que pasa en el plano. Se define la distancia entre dos puntos en el plano \(A(x_1, y_1)\) y \(B(x_2, y_2)\) como el valor numérico (valor absoluto) de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos. A continuación, se presenta deducción de la expresión para la determinación de la distancia entre dos puntos en el plano.

Deducción de la fórmula de la distancia entre dos puntos.
En la figura de la izquierda note que si desea ir desde el punto A hasta B puede hacerlo siguiendo dos caminos diferentes, el camino de color rosa, o el camino de color negro pasando por C. Como puede notar el camino de color rosa es una línea recta, y según el teorema de Pitágoras es la distancia más corta desde A hasta B y por tanto la distancia entre ellos. Para determinar el valor de la distancia \(d\) entre \(A\) y \(B\) se emplea el teorema de Pitágoras donde \(d\) es la hipotenusa del triángulo rectángulo y además \(d(A,B )=d(B,A).\)

Distancia entre dos puntos en el plano.

$$d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}$$ Ejemplo 2. Dados \(A(-3,2)\) y \(B(5,-4)\) determinar es la longitud del segmento \(\overline{AB}\)
Solución: la longitud de \(\overline{AB}\) está dada por \(d(A,B)\) \begin{align} &d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)}\\ &d(A,B)=\sqrt{(5-(-3))^2+(-4-2)^2}\\ &d(A,B)=\sqrt{(64+36)}=\sqrt{100}=10\end{align}

Ejemplo 3. Dados \(A(6,3)\) y \(B(5,-2)\) determinar la longitud de \(\overline{AB}\)
Solución:  \begin{align} &d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\ &d(A,B)=\sqrt{(5-6)^2+(-2-3)^2)}\\ &d(A,B)=\sqrt{(-1)^2+(-5)^2}\\ &d(A,B)=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}\end{align} Note que \(\sqrt{26}\) no es una raíz exacta ni reducible, por tanto el resultado se deja expresado en radical.

Coordenadas del punto medio de un segmento.
Sean los puntos \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\) dos puntos cualesquiera en el plano, los cuales determinan el segmento de recta \(\overline{AB}\). Las coordenadas del punto medio entre dichos puntos están dadas por la expresión matemática:

Coordenadas de punto medio

$$P_m=\left(\frac{x_1+x_2}2,\frac{y_1+y_2}2\right)$$ Ejemplo. Determinar las coordenadas del punto medio de AB en cada caso:
$$1.~~ A(-3,5),~~B(6,2)~~~~~~~2.~~ A(6,2),~~B(7,2)~~~~~~3. A(-3,3), B(5,7).$$ Solución: usando la fórmula para el punto medio se tiene, \begin{align} P_m (A,B)&=\left(\frac{-3+6}2,\frac{2+5}2\right)=\left(\frac32,\frac72\right)\\ P_m(A,B)&=\left(\frac{6+7}2,\frac{2+2}2\right)=\left(\frac{13}2,2\right)\\ P_m(A,B)&=\left(\frac{-3+5}2,\frac{3+7}2\right)=\left(1,5\right) \end{align}

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